Stammfunktion H
\( \quad \begin{array}{ r c l l } \displaystyle{\int}_0^{\infty} h_k(x) dx & = & \bigg[-10 \cdot e^{-x} + \frac{10}{k + 1} \cdot e^{-(k + 1)x} \bigg]_0^{\lim \limits_{x \rightarrow \infty}} \\[10pt] & = & \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(- 10 \cdot e^{-x} + \frac{10}{k + 1} \cdot e^{-(k + 1)x}\right)- \left(- 10 \cdot e^{-0} + \frac{10}{k + 1} \cdot e^{-(k + 1)\cdot 0}\right) \\[10pt] & = & \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(- 10 \cdot e^{-x}\right) + \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{10}{k + 1} \cdot e^{-(k + 1)x}\right) -\left(- 10 \cdot 1 + \frac{10}{k + 1} \cdot e^{0}\right) \\[10pt] & = & \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(- 10 \cdot \frac{1}{e^x}\right) + \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{10}{k + 1} \cdot \frac{1}{e^{(k + 1)x}}\right) - \left(- 10 + \frac{10}{k + 1} \cdot 1\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^{(k + 1)x}}\right)- \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^{kx + x}}\right) -\left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^{kx} \cdot e^x}\right)- \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{\left(e^x\right)^k \cdot e^x}\right)- \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{\left(e^x\right)^k}\right) \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^x}\right) - \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\left(\frac{1}{e^x}\right)^k \right) \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^x}\right) - \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\[10pt] & = & - 10 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^x}\right) + \frac{10}{k + 1} \cdot \left( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^x}\right) \right)^k \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^x}\right) - \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\ \end{array} \)
\(\\\)
Mit
\( \quad \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^x}\right) \; = \; 0 \)
\(\\\)
gilt nun
\( \quad \begin{array}{ r c l l } \displaystyle{\int}_0^{\infty} h_k(x) dx & = & - 10 \cdot 0 + \frac{10}{k + 1} \cdot 0 \cdot 0 - \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \quad \textrm{f}\ddot{u}\textrm{r alle } \; k > 0 \\ & = & - \left(- 10 + \frac{10}{k + 1}\right) \\ & = & 10 - \frac{10}{k + 1} \, < \, 10 \quad \textrm{mit} \quad \frac{10}{k + 1} \, > \, 0\\ \end{array} \)
\(\\\)